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《从一到无穷大》读后感：思维的尺度

http://www.matrix67.com/blog/archives/890
    这个月月初就开始看《从一到无穷大》，花了接近两个星期才看完。这确实是一本让人放不下手的好书。考虑到我的阅读速度，一个多星期一本书已经近乎神速。在这本书里我经常会看到一些有趣的数学知识，前段时间我还写过书里提到的一个有趣的东西——环面上的染色问题反而比平面上的“四色问题”更加简单。这种例子并不罕见，很多时候一些扩展版的问题反而比原问题更加简单。在第八章，我看到了另一个好玩的东西：随机游走(random walk)问题。
    随机游走问题是说，假如你每次随机选择一个方向迈出一个单位的长度，那么n次行动之后你离原点平均有多远（即离原点距离的期望值）。有趣的是，这个问题的二维情况反而比一维情况更加简单，关键就是一维情况下的绝对值符号无法打开来。先拿一维情况来说，多数人第一反应肯定是，平均距离应该是0，因为向左走和向右走的几率是一样的。确实，原点两边的情况是对称的，最终坐标的平均值确实应该是0才对；但我们这里考虑的是距离，它需要加上一个绝对值的符号。如果我们做p次实验，那么我们要求的平均距离D就应该是

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其中d的值随机取1或者-1。这里的绝对值符号是一个打不破的坚冰，它让处于不同绝对值符号内的d值无法互相抵消。但是，当这个情况扩展到二维时，情况有了很大的改变。我们把每一步的路径投射到X轴和Y轴上，利用勾股定理我们可以求出距离原点的距离的平方R^2的值：

2.gif

一旦把平方展开后，有趣的事情出现了：这些X值和Y值都是有正有负均匀分布的，因此当实验次数p充分大时，除了那几个平方项以外，其它的都抵消了。最后呢，式子就变成了

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于是呢，就有平均距离R=sqrt(n)。我们得出，在二维平面内随机选择方向走一个单位的长度，则n步之后离出发点的平均距离为根号n。这是一个很美妙的结论。
    有些时候，数学世界和物理世界会奇迹般地结合起来，碰撞出一段绚丽的火花。这个Blog之前就曾经一系列用物理方法解决数学问题的例子。在这里，这一个简单的随机游走定律同样对应了一个极其普遍的物理现象：Brown运动。你会发现，不管是水中墨滴扩散，两种液体的混合，还是热导体中的传热，都遵循一个简单的定律：扩散的距离与时间的平方根成正比。事实上，这本书花了相当大的篇幅来讲解这几种物理现象及其扩散速度定律的意义。
    “从一到无穷大”这个名字会让人误以为这本书是一本数学书。其实，这本书里面的数学知识只占了很小的一部分。这是一本贯穿各大科学领域的科普读物，书里面从数字讲到空间和维度，引出Einstein的时空观念，试图揭示宇宙的时空本质；进而乘坐“下降的阶梯”进入微观世界，从化学一直谈到生物；最后我们将再次迈入宇宙空间，进入神秘莫测的宇宙学。
    作为一个文科生，我很高兴能够以这种方式学习到理科的各种基础知识，而不是被应试教育强迫地灌进各种做题所需的知识和技巧；后者必然会减少很多乐趣。

大概有三四年没有接触物理了吧，但对物理的钟爱一直未减。我经常说起一句很经典的话，这非常确切地表达出我对数理化孰轻孰重等问题的看法：Chemistry is physics without thought. Mathematics is physics without purpose. 和数学一样；同时，对化学的偏见也被我带到了四年后的现在；高一下学期使我被迫选择文科的，。

一些不成逻辑体系的牵强附会

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设为私密 | 上次更新: 2008-10-27 22:49

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